Question

3．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求证：∠PCA=∠ABC；
（3）过点A作AE∥PC交⊙O于点F，连接BE，若sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明△ACD∽△ABC，只要证明①∠ADC=∠ACB，②∠CAD=∠BAC即可．
（2）利用等角的余角相等证明，即证明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解决问题．
（3）先证明FA=FC=5，在RT△ADF中，根据sin∠FAD=$\frac{3}{5}$求出DF、AD，在RT△COD中利用勾股定理求出半径，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=$\frac{3}{5}$求出BE即可．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠ADC=90°=∠ACB，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC．
（2）证明：连接OC．
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC．
（3）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AG}$，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴FA=FC，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
∴FD=3，AD=4，CD=8，
在RT△COD中，设CO=r，则有r²=（r-4）²+8²
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠EAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{20}$=$\frac{3}{5}$，
∴EB=12．

点评 本题考查圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，注意连接OC是圆中常用辅助线，熟练掌握垂径定理、切线的性质是解题的关键，属于中考压轴题．