Question

5．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是105°；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是120°；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°=105°；
（2）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°=120°；
（3）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°=105°；
∴若∠A=n°，∠BOC=$\frac{1}{2}$n°+90°；
故答案为：105°，120°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件以及三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．