Question

14．规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x²+2x-8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax²-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax²-6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，则关于x的方程mx²+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x₂=2x₁，得到x₁•x₂=2x₁²=2，得到当x₁=1时，x₂=2，当x₁=-1时，x₂=-2，于是得到结论；
③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
④若点（m，n）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，得到mn=4，然后解方程mx²+5x+n=0即可得到正确的结论；

解答 解：①由x²-2x-8=0，得
（x-4）（x+2）=0，
解得x₁=4，x₂=-2，
∵x₁≠2x₂，或x₂≠2x₁，
∴方程x²-2x-8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，
∴设x₂=2x₁，
∴x₁•x₂=2x₁²=2，
∴x₁=±1，
当x₁=1时，x₂=2，
当x₁=-1时，x₂=-2，
∴x₁+x₂=-a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax²-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x₂=2x₁，
∵抛物线y=ax²-6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax²-6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴mn=4，
解mx²+5x+n=0得x₁=-$\frac{2}{m}$，x₂=-$\frac{8}{m}$，
∴x₂=4x₁，
∴关于x的方程mx²+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．