Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，O为AB中点，则半径为

3

2

2

，圆心落在点O的圆形纸片能盖住△ABC的部分面积为

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算

专题：计算题

分析：⊙O交BC于E、F，交AB于M、N，作OH⊥EF于H，连结OE、OF，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠B=30°，且OB=

1

2

AB=3，在Rt△BOH中，利用∠B=30°得到OH=

1

2

OB=

3

2

，∠BOH=60°，接着在Rt△OHF中利用勾股定理计算出HF=

3

2

，于是可判断△OHF为等腰直角三角形，所以∠HOF=45°，根据等腰三角形的性质，由OH⊥EF得到∠EOH=∠FOH=45°，EH=FH=

3

2

，则可计算出∠NOF=15°，∠MOE=75°，然后根据扇形的面积公式和圆心落在点O的圆形纸片能盖住△ABC的部分面积=S_扇形MOE+S_△EOF+S_扇形NOF进行计算．

解答：解：⊙O交BC于E、F，交AB于M、N，作OH⊥EF于H，连结OE、OF，如图，
∵∠C=90°，AB=6，AC=3，
∴∠B=30°，
∵O为AB中点，
∴OB=

1

2

AB=3，
在Rt△BOH中，∵∠B=30°
∴OH=

1

2

OB=

3

2

，∠BOH=60°，
在Rt△OHF中，∵OF=

3 2

2

，OH=

3

2

，
∴HF=

OF2-OH2

=

3

2

，
∴△OHF为等腰直角三角形，
∴∠HOF=45°，
∵OH⊥EF，
∴∠EOH=∠FOH=45°，EH=FH=

3

2

，
∴∠NOF=60°-45°=15°，
∴∠MOE=90°-15°=75°，
∴圆心落在点O的圆形纸片能盖住△ABC的部分面积=S_扇形MOE+S_△EOF+S_扇形NOF
=

75•π•( 3 2 2 )2

360

+

1

2

•3•

3

2

+

15•π•( 3 2 2 )2

360

=

9

8

π+

9

4

．
故答案为

9

8

π+

9

4

．

点评：本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=

360

n

πR²或S_扇形=

1

2

lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．