如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为.将线段OA绕原点O逆时针旋转60°.得到线段OB.抛物线y=ax2+bx+c经过A.O.B三点．(1)求此抛物线的解析式,(2)点C是x轴上方的抛物线上的一点.且四边形ABOC被x轴分成面积比为1:2的两部分.求点C的坐标,(3)若点D是y轴正半轴上的动点.经过D点与x轴平行的直线l与抛物线交于M.N两点.是否存在这样的D点.使得以MN为直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），将线段OA绕原点O逆时针旋转60°，得到线段OB，抛物线y=ax²+bx+c经过A、O、B三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点C是x轴上方的抛物线上的一点，且四边形ABOC被x轴分成面积比为1：2的两部分，求点C的坐标；
（3）若点D是y轴正半轴上的动点，经过D点与x轴平行的直线l与抛物线交于M、N两点（M点在N点右侧），是否存在这样的D点，使得以MN为直径的圆恰好经过原点O？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）先利用旋转和三角函数求出B的坐标，再运用待定系数法就可以求出二次函数的解析式；
（2）由四边形ABOC被x轴分成面积比为1：2的两部分，可得S_△AOB与S_△AOC的比值为1：2或2：1，可求C点纵坐标为2$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再代入抛物线中得C点坐标即可；
（3）设D点坐标为（0，y），则M、N两点坐标可设为（m，y），（n，y），当MN为直径的圆恰好经过原点O，则∠MON=90°，过M，N分别作MF，NE垂直于x轴，则△MOE∽△ONF，根据相似三角形的性质可得y²=-m•n，因为M，N两点关于抛物线对称轴x=-1对称，可得m=-2-n，代入上式得y²=（2+m）n=n²+2n，又由N点坐标代入抛物线解析式可得y=$\sqrt{3}$n²+2$\sqrt{3}$n化为$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=n²+2n，可得y²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，解方程求得D点坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

解答解：（1）∵OB=OA=2且旋转60°，
利用三角函数可得B（-1，-$\sqrt{3}$），
设抛物线的解析式y=ax²+bx，则
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=0}\\{a-b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x；

（2）∵四边形ABOC被x轴分成面积比为1：2的两部分，
∴S_△AOB与S_△AOC的比值为1：2或2：1，
∴C点纵坐标为2$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入抛物线中得C点坐标为（-1+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），（-1-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），（-1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（3）设D点坐标为（0，y），则M、N两点坐标可设为（m，y），（n，y），
当MN为直径的圆恰好经过原点O，则∠MON=90°，
过M，N分别作MF，NE垂直于x轴，
则△MOE∽△ONF，
∴$\frac{ME}{OF}$=$\frac{OE}{NF}$，即$\frac{y}{-n}$=$\frac{m}{y}$，
∴y²=-m•n，
又∵M，N两点关于抛物线对称轴x=-1对称，
∴m+n=-2，得m=-2-n，
代入上式得y²=（2+m）n=n²+2n，
又∵N点坐标代入抛物线解析式可得y=$\sqrt{3}$n²+2$\sqrt{3}$n化为$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=n²+2n，
∴y²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，
解得y₁=0，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴D点坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．