Question

16．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；
（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据$\frac{BD}{BF}$=sinF=sin∠BDE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得BD=2$\sqrt{5}$，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．

解答 解：（1）如图所示，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接DF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FDB=90°，
∴∠F+∠OBD=90°，
∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠F=∠BDE，
在Rt△BDF中，$\frac{BD}{BF}$=sinF=sin∠BDE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=10×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴在Rt△BDE中，sin∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2，
∴在Rt△BDE中，DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{16}$=4．

点评 本题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．