Question

关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：证明题

分析：（1）先根据判别式的值得到△=4m+1，由m＞0得到△＞0，则根据判别式的意义得到此方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁•x₂=

m-2

m

，由（x₁-3）（x₂-3）=5m变形得到x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，所以

m-2

m

-3•

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，解方程得m₁=-

1

5

（舍去），m₂=1，所以m=1．

解答：（1）证明：△=（2m-1）²-4m（m-2）
=4m+1，
∵m＞0，
∴4m+1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁•x₂=

m-2

m

，
∵（x₁-3）（x₂-3）=5m，
∴x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，
∴

m-2

m

-3•

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，解得m₁=-

1

5

，m₂=1，
而m＞0，
∴m=1．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．