Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）对角线AC的长是

 

，菱形ABCD的面积是

 

；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；
（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；
（2）连接AO，根据S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO列式计算即可得解；
（3）连接AO，根据S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO列式整理即可得解．

解答：解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=

1

2

BD=

1

2

×16=8，
由勾股定理得，AG=

AB2-BG2

=

102-82

=6，
∴AC=2AG=2×6=12，
菱形ABCD的面积=

1

2

AC•BD=

1

2

×12×16=96；
故答案为：12；96；

（2）如图1，连接AO，则S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO，
所以，

1

2

BD•AG=

1

2

AB•OE+

1

2

AD•OF，
即

1

2

×16×6=

1

2

×10•OE+

1

2

×10•OF，
解得OE+OF=9.6是定值，不变；

（3）如图2，连接AO，则S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO，
所以，

1

2

BD•AG=

1

2

AB•OE-

1

2

AD•OF，
即

1

2

×16×6=

1

2

×10•OE-

1

2

×10•OF，
解得OE-OF=9.6，是定值，不变，
所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE-OF=9.6．

点评：本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，（2）（3）作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．