Question

9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC=
15°，则∠COE=45°．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，求出OB=OC，OB=OA，根据矩形性质和已知求出∠BAE=∠DAE=45°，求出∠OBC=∠OCB=30°，求出△AOB是等边三角形，推出AB=OB=BE，求出∠OEB=75°，即可求出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，OB=OA，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=180°-90°-45°=45°，
∵∠EAC=15°，
∴∠OCB=∠AEB-∠EAC=45°-15°=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠AOB=30°+30°=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，
∵∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠OEB=∠EOB，
∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，
∴∠OEB=75°，
∵∠OCB=30°，
∴∠COE=∠OEB-∠OCB=45°，
故答案为：45°．

点评 本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质的应用，能求出∠OEB和∠OCB的度数是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．