Question

1．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E是△ABC外一点，∠B=∠ADE，∠BAD=∠CAE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若∠BAD=30°，AB=6，BD=4，DE=9，求△ADC 的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE，得出∠BAC=∠DAE，由ASA证得△ABC≌△ADE，即可得出结论；
（2）过点A作AG垂直于BD于G，由AB=AD，得出BG=DG=2，求得AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$，再根据△ABC≌△ADE，得出DE=BC=9，求出DC，由S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AG即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠B=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC=AE；
（2）解：过点A作AG垂直于BD于G，如图所示：
∵AB=AD，
∴BG=DG=2，
AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=$4\sqrt{2}$，
∵△ABC≌△ADE，
∴DE=BC=9，
∴DC=BC-BD=9-4=5，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AG=$\frac{1}{2}$×5×$4\sqrt{2}$=$10\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键．