Question

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据锐角三角函数和等积法可以求得BD和BD边上的高的长，从而可以求得AE的长．

解答 解：∵∠CDB=90°，∠DCA=30°，
∴∠CED=60°，
∴∠AEB=60°，
作AF⊥BD于点F，
∵∠DAB=90°，AB=6，∠ABD=45°，
∴AB=AD=6，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
∴AF=$\frac{AB•AD}{BD}=\frac{6×6}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{AF}{sin60°}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}$，
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查锐角三角函数、勾股定理、等积法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．