Question

12．如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF的面积为S₁，△PDE的面积为S₂．
（1）求证：BP⊥DE．
（2）求S₁-S₂关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S₁-S₂的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长BP交DE于M．只要证明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延长即可解决问题；
（2）根据S₁-S₂=S_△PBE-S_△PDE计算即可解决问题；
（3）分两种情形分别求出PC的长，利用（2）中结论计算即可；

解答 解：（1）如图1中，延长BP交DE于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，
∵CP=CE，
∴△BCP≌△DCE，
∴∠BCP=∠CDE，
∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，
∴∠CDE+∠DPM=90°，
∴∠DMP=90°，
∴BP⊥DE．

（2）由题意S₁-S₂=$\frac{1}{2}$（4+x）•x-$\frac{1}{2}$•（4-x）•x=x²（0＜x＜4）．

（3）①如图2中，当∠PBF=30°时，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，
∴∠PFD=∠DPF=45°，
∴DF=DP，∵AD=CD，
∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，
∴△BAF≌△BCP，
∴∠ABF=∠CBP=30°，
∴x=PC=BC•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S₁-S₂=x²=$\frac{16}{3}$．
②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．

由①可知△ABF≌△BCP，
∴∠ABF=∠CBP，
∵∠PBF=45°，
∴∠CBP=22.5°，
∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，
∴∠NBP=∠NPB=22.5°，
∴BN=PN=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x+x=4，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
∴S₁-S₂=（4$\sqrt{2}$-4）²=48-32$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．