Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于D，连接BD，过I作直线EF分别交AB，AC于E，F，且AE=AF．
（1）求证：以D为圆心，DB为半径的圆与EF相切；
（2）若BD=5，AD=9，BE•CF=4，求sin∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明DB=DI，DI⊥EF即可解决问题；
（2）由△EIB∽△FCI，推出EI•IF=BE•CF=4，推出EI=IF=2，由AD=9，BD=5，推出AI=9-5=4，在Rt△AIF中，AF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据sin∠CBD=sin∠FAI=$\frac{IF}{AF}$，即可解决问题；

解答 （1）证明：如图，连接BI．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAB=∠IAC，
∠IBA=∠IBC，
∵∠IAC=∠CBD，∠BID=∠IBA+∠IAB，∠DBI=∠CBD+∠IBC，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DB=DI，
∵AE=AF，∠IAE=∠IAF，
∴AI⊥EF，即DI⊥EF，
∴以D为圆心，DB为半径的圆与EF相切．

（2）连接IC．
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BEI=∠CFI，
∵∠EID=90°=∠EIB+∠BID=∠EIB+∠BAI+∠ABI，
又∵∠BAI+∠ABI+∠ICF=90°，
∴∠BIE=∠ICF，
∴△EIB∽△FCI，
∴EI•IF=BE•CF=4，
∴EI=IF=2，
∵AD=9，BD=5，
∴AI=9-5=4，
在Rt△AIF中，AF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠CBD=sin∠FAI=$\frac{IF}{AF}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、三角形的内心、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．