Question

6．数轴的原点O上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度，…，依此规律爬下去，当它爬完第100次处在B点．
（1）求O、B两点之间的距离（用单位长度表示）．
（2）若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？
（3）若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？

Answer 1

分析 （1）根据题意知蜗牛第100次所处位置是1-2+3-4+5-6+…+99-100，计算可知；
（2）点C与原点相距50个单位长度有2种可能：点C在原点左侧、点C在原点的右侧，分别计算两种情况下蜗牛行进路程即可得；
（3）由蜗牛2小时行进120个单位长度可得蜗牛行进的次数n满足$\frac{n（n+1）}{2}$=120，求出n，进而可得其最终所处位置是1-2+3-4+5-6+…+15．

解答 解：（1）根据题意知：1-2+3-4+5-6+…+99-100=-1×50=-50，
∴O、B两点间距离50单位长度；

（2）由（1）知，如果点C在原点左侧，蜗牛到达点C行进的路程为：1+2+3+4…+100=101×50=5050，
∴蜗牛到达点C所需时间为：5050÷2=2525（分钟）；
如果点C在原点的右侧，蜗牛到达点C行进的路程为：1+2+3+4…+99=100×$\frac{99}{2}$=4950，
∴蜗牛到达点C所需时间为：4950÷2=2475（分钟）；

（3）∵1小时后蜗牛行进的路程为：60×2=120（单位长度），
∴第n次蜗牛行进的路程1+2+3+4…+n=120，即$\frac{n（n+1）}{2}$=120，
解得：n=15或n=-16（舍），
故1-2+3-4+5-6+…+15
=（-1）×7+15
=8，
∴经过1小时蜗牛在原点右侧，离O点8个单位长度．

点评 本题主要考查图形的变化规律，根据题意掌握蜗牛行进的次数与所处位置及行进路程间的联系是解题的关键．