Question

13．如图，在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，在A₁B上取一点B₁，延长AA₁到A₂，使得A₁A₂=A₁B₁，连接A₂B₁，在A₂B₁上取一点B₂，延长A₁A₂到A₃，使得A₂A₃=A₂B₂；…，按此作法进行下去，∠A₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₅的度数为$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质求出∠BA₁A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B₁A₂A₁，∠B₂A₃A₂及∠B₃A₄A₃的度数，找出规律即可得出∠A₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₅的度数．

解答 解：∵在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=80°，
∵A₁A₂=A₁B₁，∠BA₁A是△A₁A₂B₁的外角，
∴∠B₁A₂A₁=$\frac{∠B{A}_{1}A}{2}$=40°；
同理可得，
∠B₂A₃A₂=20°，∠B₃A₄A₃=10°，
∴∠A_n-1A_nB_n-1=$\frac{80°}{{2}^{n-1}}$，
∴∠A₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₅的度数为$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．
故答案为：$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B₁C₂A₁，∠B₂A₃A₂及∠B₃A₄A₃的度数，找出规律是解答此题的关键．