Question

5．二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D．
（1）①求OA，OB，OC的长；
②直接写出点D的坐标（2，3）；
（2）已知点P位于第一象限且在抛物线上，它的横坐标为$\frac{5}{3}$，求证：∠ACB=∠PCB．

Answer 1

分析 （1）①令0=-x²+2x+3，解方程即可得到结论；②根据抛物线y=-x²+2x+3求得对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）连接AC，BC，过P作PE⊥CD于E，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）①令0=-x²+2x+3，解得：x₁=-1，x₂=3，令x=0，则y=3，
∴OA=1，OB=3，OC=3；
②抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，C（0，3），
由题意知，C，D关于直线x=1为对称，设D（m，3），
∴$\frac{m+0}{2}$=1，
∴m=2，
∴D（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）连接AC，BC，过P作PE⊥CD于E，
当x=$\frac{5}{3}$时，y=-（$\frac{5}{3}$）²+2×$\frac{5}{3}$+3=$\frac{32}{9}$，
∴PE=$\frac{32}{9}$-3=$\frac{5}{9}$，CE=$\frac{5}{3}$，
∴tan∠PCD=$\frac{PE}{CE}$=$\frac{\frac{5}{9}}{\frac{5}{3}}$=$\frac{1}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠PCD=∠ACO，
∵CD⊥OC，OC⊥OB，OB=OC=3，
∴∠BCO=45°，∠DCB=90°-45°=45°，
∴∠BCO=∠DCB，
∴∠ACB=∠PCB．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．