题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=7，AD=4，CA=5，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C→D→A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD交于点E，与折线A-C-B的交点为Q，设点M的运动时间为t．（1）当点P在线段CD上时，CE=
（2）在（1）的条件下，如果以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；
（3）当点P运动到线段AD上时，PQ与AC交于点G，若S△PCG：S△CQG=1：3，求t的值．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）先由勾股定理得到CD的长，可得CE=3-t，再由直线l∥AD，得
=
，所以CQ=5-
t；
（2）分类讨论：当CP=CQ、QC=QP以及QP=CP三种情况下的t值；
（3）过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．由QM=PA且QM∥PA，求得四边形AMQP为平行四边形．S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
PG•CH，S△CQG=
QG•CH，所以PG：QG=1：3．得：
（7-t）=
t，解方程即可求得t．
| CQ |
| CA |
| CE |
| CD |
| 5 |
| 3 |
（2）分类讨论：当CP=CQ、QC=QP以及QP=CP三种情况下的t值；
（3）过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．由QM=PA且QM∥PA，求得四边形AMQP为平行四边形．S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：
解：（1）∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠D=90°，
∴CD=
．
∴CE=3-t，
∵直线l∥AD，
∴
=
∴CQ=5-
t．
综上所述，CE=3-t，CQ=5-
t．
故答案是：3-t，5-
t；
（2）①当CP=CQ时，得：5-
t=t，解得：t=
；
②如图1，当QC=QP时，
∵QE⊥CD，
∴CP=2CE，即t=2（3-t），
解得：t=2；
③当QP=CP时，由勾股定理可得：
PQ2=（2t-3）2+（4-
t）2，
∴（2t-3）2+（4-
t）2=t2，
整理得：43t2-204t+225=0，
解得：t1=3（舍去），t2=
．
综上所述，当t=
，t=2或t=
时，以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形；
（3）如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-3）=7-t．
在Rt△BCF中，由题意得，
BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠B=45°，
∴QM=MB=7-t，
∴QM=PA．
又∵QM∥PA，
∴四边形AMQP为平行四边形．
∴PQ=AM=t．
∵S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
PG•CH，S△CQG=
QG•CH，
∴PG：QG=1：3．
得：
（7-t）=
t，
解得：t=
．
因此当t=
时，S△PCG：S△CQG=1：3．
解：（1）∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠D=90°，
∴CD=
| AC2-AD2 |
∴CE=3-t，
∵直线l∥AD，
∴
| CQ |
| CA |
| CE |
| CD |
∴CQ=5-
| 5 |
| 3 |
综上所述，CE=3-t，CQ=5-
| 5 |
| 3 |
故答案是：3-t，5-
| 5 |
| 3 |
（2）①当CP=CQ时，得：5-
| 5 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
②如图1，当QC=QP时，
∵QE⊥CD，
∴CP=2CE，即t=2（3-t），
解得：t=2；
③当QP=CP时，由勾股定理可得：
PQ2=（2t-3）2+（4-
| 4 |
| 3 |
∴（2t-3）2+（4-
| 4 |
| 3 |
整理得：43t2-204t+225=0，
解得：t1=3（舍去），t2=
| 75 |
| 43 |
综上所述，当t=
| 15 |
| 8 |
| 75 |
| 43 |
（3）如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-3）=7-t．
在Rt△BCF中，由题意得，
BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠B=45°，
∴QM=MB=7-t，
∴QM=PA．
又∵QM∥PA，
∴四边形AMQP为平行四边形．
∴PQ=AM=t．
∵S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PG：QG=1：3．
得：
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解得：t=
| 21 |
| 4 |
因此当t=
| 21 |
| 4 |
点评：本题主要考查了四边形中的动点问题．用到平行四边形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，知识点较多，综合性强．关于动点问题，一定要分类讨论，以防漏解．
练习册系列答案
相关题目
如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
如图，⊙O的直径BC=8，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=4，A是线段BO上一动点，连结AD交⊙O于点G，过点A作AF⊥AD交直线m于点F，交⊙O于点H，连结GH交BC于点E．
如图，一张矩形纸片ABCD，其中AB=2，BC=3，将该纸片沿对角线BD折叠，则阴影部分的面积为
如图，函数y=kx和