题目内容
18．操作与探究：某校七年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）当旋转角α=20°时，∠AMB=100°．
（2）当旋转角α=60°°时，△ABM是正三角形．
（3）在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
分析 （1）在△ABM中，依据三角形的内角和定理可求得∠AMB的度数；
（2）由等边三角形的性质可知∠B=∠α=∠AMB=60°；
（3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
解答 解：（1）∵∠B=60°，∠α=20°，
∴∠AMB=180°-60°-20°=100°．
故答案为：100°．
（2）∵△ABM为正三角形，
∴∠B=∠α=∠AMB=60°．
故答案为：60°．
（3）如图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°-60°-90°=30°．
∴∠α=30°．
如图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
点评 本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
练习册系列答案
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如图是由若干个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．
9．已知A、B在数轴上分别表示m、n
（1）填写下表
（2）若A、B两点间距离为d，则d与m，n有何数量关系？
（1）填写下表
| m | 5 | -5 | -6 | -6 | -10 | -2.5 |
| n | 3 | 0 | 4 | -4 | 2 | -2.5 |
| A、B两点间距离 | 2 | 5 | 10 | 2 | 12 | 0 |
如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A在y轴上，B在x轴上，将正方形ABCD平移，使点A与点C重合，得正方形CEFG，己知∠OAB=30°，则点G的坐标为（$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，1）．