Question

如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
（1）求△ABC的面积；
（2）若过点C作AB平行线CD，并使CD=BC，连结BD，交AC于点E．
①那么∠ACB与∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
②那么△ABE与△BCE的面积比是多少？写出求解过程．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的面积,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）作AF⊥BC于点F，根据三线合一定理求得BF的长，然后在直角△ABF中，利用勾股定理求得AF的长，然后利用三角形的面积公式求解；
（2）根据平行线的性质以及等腰三角形中：等边对等角，即可证得∠ABC=∠ACB=2∠D，问题得解；
②易证BD是∠ABC的角平分线，则两个三角形面积的比等于AB喝BC的比，据此即可求解．

解答：解：（1）作AF⊥BC于点F．
又∵AB=AC，
∴BF=

1

2

BC=4，
则在直角△ABF中，AF=

AB2-BF2

=

52-42

=3，
则S_△ABC=

1

2

BC•AF=

1

2

×8×3=12；

（2）①∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠D，
又∵BC=CD，
∴∠DBC=∠D，
∴∠ABC=∠ACB=2∠D；
②∵∠ABD=∠DBC，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴△ABE与△BCE的面积比是：AB：BC=5：8．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质定理，角平分线的性质定理，正确证得∠ABC=∠ACB=2∠D是关键．