Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，且∠A=∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若CA=CP，PB=1，求

BC

的弧长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接OC，若要证明PC是⊙O的切线，则问题可转化为证明：∠PCO=90°即可；
（2）若要

BC

的弧长，根据弧长公式可知：需求圆的半径和圆心角即可．

解答：解：（1）连接OC．    
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． 
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A=∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．   
∴∠PCB+∠OCB=∠ACO+∠OCB=90°，即∠PCO=90°．
∴PC⊥OC．          
又∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．  

（2）∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠PCB=∠A=∠P．
∴BC=BP=1．     
∴∠CBO=∠P+∠PCB=2∠PCB．
又∵∠COB=2∠A=2∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
又∵OB=OC，
∴OB=OC=BC=1，即△OBC为等边三角形． 
∴∠COB=60°．         
∴

BC

的弧长=

1×60π

180

=

1

3

π．

点评：此题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，以及三角形的外角性质，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．