Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=4，AC=5，求AB．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；
（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：（1）证明：连接OC，
∵C是⊙O上一点，DC是切线，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又∵AO=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO．
即AC平分∠DAB．
（2）连结CB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=90°，
∴△DAC∽△CAB．
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∵AD=4，AC=5
∴AB=

25

4

．

点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．