Question

4．△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6．
（1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与$\frac{CD}{BD}$的比值；
（2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长．

Answer 1

分析 （1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长；
（2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC′与B′N的数量关系，最后结合BC′的长为1，求得NC′的长，进而得到AN的长度．

解答 解：（1）如图1，∵AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，
∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，
∴ED=EA，即三角形ADE是等腰三角形，
设CE=x，则AE=4-x=DE，
由DE∥AB，可得
$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{4-x}{5}$=$\frac{x}{4}$，
解得x=$\frac{16}{9}$，
∴CE=$\frac{16}{9}$，
由DE∥AB，可得
$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{EA}$=$\frac{\frac{16}{9}}{4-\frac{16}{9}}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{4}{5}$；

（2）由折叠得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4，
∴△ABC∽△NB′C′，
∴$\frac{NC′}{NB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
设NC′=4a，则BN=B′N=5a，
∵BC'=AB-AC′=5-4=1，
∴NC′+BN=1，即4a+5a=1，
解得a=$\frac{1}{9}$，
∴NC′=$\frac{4}{9}$，
∴AN=$\frac{4}{9}$+4=$\frac{40}{9}$．

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等．