如图1.是抛物线y=ax2+bx+c图象的一部分.已知抛物线的对称轴为直线x=2.与x轴的一个交点是,(1)补充完下列结论:abc＞0,4a-2b+c＞0,b2-4ac＞0(2)如图2.当a=1时.一次函数y=2x-5与y=x2+bx+c交于A.C两点.求不等式2x-5＞x2+bx+c的解集．(3)抛物线的对称轴上是否存在点P.使得PB+PC的值最小?若存在.求出点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图1，是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）；
（1）补充完下列结论：abc＞0；4a-2b+c＞0；b²-4ac＞0
（2）如图2，当a=1时，一次函数y=2x-5与y=x²+bx+c交于A、C两点，求不等式
2x-5＞x²+bx+c的解集．
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PB+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2得到b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＞0；由x=-2时，函数值为正数得到4a-2b+c＞0；由抛物线与x轴有2个交点得到b²-4ac＞0；
（2）利用对称性求得B点坐标，利用交点式求得函数解析式，整理成一般形式，得出一次函数y=2x-5与y=x²+bx+c交于A、C两点，利用图象求得2x-5＞x²+bx+c解集即可；
（3）利用对称性求得C点对称点C′的坐标为（-2，7），进一步求得直线BC′解析式，确定点P的坐标即可．

解答解：（1）abc＞0；4a-2b+c＞0；b²-4ac＞0；
（2）由已知B为（-1，0）关于直线x=2的对称点，
∴B点坐标为（5，0），
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-5），
当2x-5=x²-4x-5时，x₁=0，x₂=6，
由图可知：0＜x＜6为原不等式的解集；
（3）存在点P．

理由如下：由（2）可知：当x=6时，y=7
∴C点坐标为（6，7），
C′点为C点关于直线x=2的对称点，则C′的坐标为（-2，7），
设直线BC′的方程为：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=7}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=5}\end{array}\right.$，
即y=-x+5，
当x=2时，y=3即P点坐标为（2，3）．