题目内容
5．
如图1，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）；（1）补充完下列结论：abc＞0；4a-2b+c＞0；b2-4ac＞0
（2）如图2，当a=1时，一次函数y=2x-5与y=x2+bx+c交于A、C两点，求不等式
2x-5＞x2+bx+c的解集．
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PB+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2得到b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＞0；由x=-2时，函数值为正数得到4a-2b+c＞0；由抛物线与x轴有2个交点得到b2-4ac＞0；
（2）利用对称性求得B点坐标，利用交点式求得函数解析式，整理成一般形式，得出一次函数y=2x-5与y=x2+bx+c交于A、C两点，利用图象求得2x-5＞x2+bx+c解集即可；
（3）利用对称性求得C点对称点C′的坐标为（-2，7），进一步求得直线BC′解析式，确定点P的坐标即可．
解答 解：（1）abc＞0；4a-2b+c＞0；b2-4ac＞0；
（2）由已知B为（-1，0）关于直线x=2的对称点，
∴B点坐标为（5，0），
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-5），
当2x-5=x2-4x-5时，x1=0，x2=6，
由图可知：0＜x＜6为原不等式的解集；
（3）存在点P．
理由如下：由（2）可知：当x=6时，y=7
∴C点坐标为（6，7），
C′点为C点关于直线x=2的对称点，则C′的坐标为（-2，7），
设直线BC′的方程为：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=7}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=5}\end{array}\right.$，
即y=-x+5，
当x=2时，y=3即P点坐标为（2，3）．
点评 此题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，利用图象解决不等关系，以及利用对称性求最短距离，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
15．
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：
（1）ac＞0；
（2）方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3；
（3）2a-b=0；
（4）当x＞1时，y随x的增大而减小；
则以上结论中正确的有（ ）
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：（1）ac＞0；
（2）方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3；
（3）2a-b=0；
（4）当x＞1时，y随x的增大而减小；
则以上结论中正确的有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
16．
如图，抛物线为二次函数y=x2-4x的图象．
（1）抛物线顶点A的坐标是（2，-4）；
（2）抛物线与x轴的交点的坐标是（0，0）和（4，0）；
（3）通过观察图象，写出x2-4x＞0时x的取值范围．
如图，抛物线为二次函数y=x2-4x的图象．（1）抛物线顶点A的坐标是（2，-4）；
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如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，∠BAC的角平分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E．
20．以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（ ）
| A． | 2，3，5 | B． | 4，5，6 | C． | 11，12，15 | D． | 8，15，17 |
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，E是直角顶点，连接EC，BE．求证：BE=CE．
如图．把直角三角形ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C′的位置上，已知BC=1，∠A=30°．则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线l所围成的面积有多大？