Question

如图，CD切⊙O于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD，求证：
（1）PE：AC=PB：PA．
（2）PE²=AC•BD．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据弦切角定理得到∠CPA=∠PBA，则根据三角形相似的判定方法易得Rt△PBE∽Rt△APC，于是利用相似的性质有PE：AC=PB：PA；
（2）利用比例性质由PE：AC=PB：PA得PE=

PB

PA

•AC①，同样可证明Rt△PAE∽RtBPD，也得到PE=

PA

PB

•BD②，然后把①、②两式相乘即可得到结论．

解答：证明：（1）∵CD切⊙O于P，
∴∠CPA=∠PBA，
∵PE⊥AB，AC⊥CD，
∴∠PEB=90°，∠ACP=90°，
∴Rt△PBE∽Rt△APC，
∴PE：AC=PB：PA；
（2）∵PE：AC=PB：PA
∴PE=

PB

PA

•AC①，
同理可证明Rt△PAE∽RtBPD，
∴PE：BD=AP：PB，
∴PE=

PA

PB

•BD②，
由①②得PE²=

PB

PA

•AC•

PA

PB

•BD=AC•BD．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弦切角定理和相似三角形的判定与性质．