题目内容
如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；
（2）如果sin∠BPC是方程2x2+5x-3=0的根，求∠BPC的度数；
（3）在（2）的条件下，求弦CD的长．
考点：相似三角形的判定与性质,解一元二次方程-因式分解法,圆周角定理,特殊角的三角函数值
专题：
分析：（1）运用圆周角定理证明∠A=∠D，∠B=∠C，即可解决问题．
（2）解方程得到sin∠BPC=
，即可解决问题．
（3）证明
=
；由△ABP∽△DCP，得到AB：CD=BP：PC=
：2，即可解决问题．
（2）解方程得到sin∠BPC=
| 1 |
| 2 |
（3）证明
| PC |
| PB |
| ||
| 2 |
| 3 |
解答：
解：（1）如图，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解方程2x2+5x-3=0得：x=
或-3，
∵sin∠BPC是方程2x2+5x-3=0的根，
∴sin∠BPC=
，
∴∠BPC=30°．
（3）如图，连接BC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，而∠BPC=30°，
∴cos30°=
=
；
∵△ABP∽△DCP，
∴AB：CD=BP：PC=
：2，而AB=10，
∴CD=5
．
解：（1）如图，∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解方程2x2+5x-3=0得：x=
| 1 |
| 2 |
∵sin∠BPC是方程2x2+5x-3=0的根，
∴sin∠BPC=
| 1 |
| 2 |
∴∠BPC=30°．
（3）如图，连接BC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，而∠BPC=30°，
∴cos30°=
| PC |
| PB |
| ||
| 2 |
∵△ABP∽△DCP，
∴AB：CD=BP：PC=
| 3 |
∴CD=5
| 3 |
点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质等重要数学知识点及其应用问题；牢固掌握定理是基础，科学解答是关键；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
练习册系列答案
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