Question

17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；
②AG+DF=FG；
③△DEF∽△ABG；
④S_△ABG=1.5S_△FGH．
其中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=$\frac{1}{2}$∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x²+4²=（8-x）²，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{4}{3}$，而$\frac{AB}{AG}$=$\frac{6}{3}$=2，所以$\frac{AB}{AG}$≠$\frac{DE}{DF}$，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断；分别计算S_△ABG和S_△GHF可对④进行判断．

解答 解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=$\frac{1}{2}$∠CBF+$\frac{1}{2}$∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在Rt△GFH中，∵GH²+HF²=GF²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以②正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AF}{DE}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
而$\frac{AB}{AG}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴$\frac{AB}{AG}$≠$\frac{DE}{DF}$，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S_△ABG=$\frac{1}{2}$×6×3=9，S_△GHF=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△ABG=1.5S_△FGH．所以④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．