Question

17．已知圆内接正方形的边长为3，则该圆的内接正六边形边长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件求出该圆的半径，再求出正六边形的边长与外接圆半径相等即可．

解答 解：如图所示：连接OA、OB，OM、OH，
∵四边形ABCD是圆内接正方形，
∴∠AOB=90°；
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∴AO=AB•sin45°=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵六边形EFGHMN是圆的内接正六边形，
∴∠MOH=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OM=OH，
∴△OMH是等边三角形，
∴MH=OM=OA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即该圆的内接正六边形的边长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆的内接正方形与内接正六边形、正方形的性质、正六边形的性质、等腰直角三角形的性质、三角函数、正三角形的性质；由正方形的边长求出圆的半径是解决问题的关键．