Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+6交y轴于点A，交x轴于点B，点C，B关于原点对称，点P在射线AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD，过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点E，延长DQ交⊙Q于点F，连接EF，BF．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，求证：DE=EF；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由直线y=-x+6交y轴于点A，交x轴于点B，当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，即可得A，B的坐标，再由点C，B关于原点对称，即可求出点C的坐标，
（2）先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，再连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DE=EF，
（3）BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，证出△BOD∽△FHB=2，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式，最后根求出点P的坐标即可；连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，得出FG，ODBG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-x+6交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当x=0时，y=6，
当y=0时，x=6，
∴A（0，6），B（6，0）
∵点C，B关于原点对称，
∴C（-6，0），
（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
如图1，连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF，
（3）当BD：BF=2：1时，
①如图2，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=2，
∴FH=3，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=3，
∴EF=OH=6-

1

2

OD，
∵DE=EF，
∴3+OD=6-

1

2

OD，
解得：OD=2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴直线CD的解析式为y=

1

3

x+2，
由

y= 1 3 x+2 y=-x+6

，解得

x=3 y=3

，
则点P的坐标为（3，3）；
当

BD

BF

=

1

2

时，
②如图3，连结EB，同（2）可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴

OB

GF

=

OD

GB

=

BD

FB

=

1

2

，
∴FG=12，OD=

1

2

BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=12
∴EF=OG=6+2OD，
∵DE=EF，
∴12-OD=6+2OD，
OD=2
∴点D的坐标为（0，-2）
直线CD的解析式为：y=-

1

3

x-2，
由

y=- 1 3 x-2 y=-x+6

得

x=12 y=-6

∴点P的坐标为（12，-6），
综上所述，点P的坐标为（3，3）或（12，-6）．

点评：此题主要考查了圆的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．