Question

如图①，∠MON=90°，A为射线OM上一点，以A为圆心，r为半径作⊙A交OM于B、C两点，且OB=2

2

-2，0C=2

2

+2，
（1）求⊙A的半径r的值．
（2）当射线OM绕点O顺时针旋转45°时，（如图②），判断ON与⊙A的位置关系，并加以证明；
（3）若射线OM绕点O顺时针旋转到如图③位置时，ON与⊙A相较于D、E两点，当DE=2

2

时，求∠MON的度数．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据线段的和差，可得圆的直径，根据直径与半径的关系，可得答案；
（2）根据线段的和差，可得OA的长，根据正弦函数，可得AD的长，根据圆的切线的判定，可得答案；
（3）根据垂径定理，可得DF的长，根据勾股定理，可得AF的长，再根据特殊角的三角函数值，可得答案．

解答：解：（1）由线段的和差，得BC=OC-OB=（2

2

+2）-（2

2

-2）=2

2

+2-2

2

+2=4，
由r=

1

2

d=

1

2

×4=2；
（2）ON是⊙A的切线，
证明：如图2：作AD⊥ON与D点，
∵OB=2

2

-2，AB=2，
∴OA=OB+AB=2

2

-2+2=2

2

．
∵sin∠AOD=sin45°=

2

2

=

AD

AO

，
∴

2

2

=

AD

2 2

，AD=2，
∵AD=2=r，AD⊥ON
∴ON是⊙A的切线；
（3）如图3：作AF⊥DE与F点，连接AD，，
由垂径定理，得DF=

1

2

DE=

2

．
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF=

AD2-DF2

=

22-( 2 )2

=

2

．
在Rt△OAF中，由正弦函数，得
sin∠O=

AF

AO

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠MON=30°．

点评：本题考查了圆的综合题，利用了切线的判定定理，圆的垂径定理，锐角三角函数．