Question

9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF．求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 根据题意结合平行线的性质与判定方法得出AD∥BC，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用等腰三角形的判定与性质得出AD=DC，即可得出答案．

解答 证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，PE=PF，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 此题主要考查了平行线的性质与判定方法以及菱形的判定，得出AD=DC是解题关键．