Question

8．（1）若（2x-1）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求a₁+a₃+a₅+a₇+a₉及a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀的值．
（2）若（x-1）⁴（x+2）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹，求a₁+a₃+a₅+a₇+a₉及a₂+a₄+a₆+a₈的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0，x=1，x=-1，x=0分别代入式子（2x-1）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰中，将相应的结果再进行加减运算即可求得答案．
（2）令x=0，x=1，x=-1，x=0分别代入式子（x-1）⁴（x+2）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹中，将相应的结果再进行加减运算即可求得答案．

解答 解：（1）令x=0，得
（-1）¹⁰=a₀
∴a₀=1
令x=1，得
（2×1-1）¹⁰=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀
，即：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=1      ①
令x=-1，得
[2×（-1）-1]¹⁰=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈-a₉+a₁₀
即：a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈-a₉+a₁₀=（-3）¹⁰  ②
①-②，得
2（a₁+a₃+a₅+a₇+a₉）=1-（-3）¹⁰
∴a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=$\frac{1-（-3）^{10}}{2}$
①+②，得
2（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）=1+（-3）¹⁰
又∵a₀=1
∴a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=$\frac{（-3）^{10}-1}{2}$
（2）令x=0，得
（0-1）⁴（0+2）⁵=a₀
即a₀=32
当x=1时，得
（1-1）⁴（1+2）⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉
即：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=0    ①
当x=-1时，得
（-1-1）⁴（-1+2）⁵=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈-a₉
即：a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈-a₉=2⁴   ②
①-②，得
2（a₁+a₃+a₅+a₇+a₉）=-2⁴
∴a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=-8
①+②，得
2（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈）=2⁴
又∵a₀=32
∴a₂+a₄+a₆+a₈=-24

点评 本题考查对式子的赋值变形，巧妙运算，最终求的问题的答案．