Question

3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（-3，3$\sqrt{3}}$），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是-12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先过点C作CE⊥x轴于点E，由顶点C的坐标为（-3，3$\sqrt{3}$），可求得OC的长，可得∠BOC=60°，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB=30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（-3，3$\sqrt{3}$），
∴OE=3，CE=3$\sqrt{3}$，
∴∠BOC=60°，
∵四边形ABOC是菱形，
∴OB=OC=$\frac{CE}{sin60°}$=6，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∵DB⊥x轴，
∴DB=OB•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴点D的坐标为：（-6，2$\sqrt{3}$），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与菱形对角线AO交D点，
∴k=xy=-12$\sqrt{3}$．
故答案为：-12$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．