Question

12．△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．

（1）如图1．
①求证：AC垂直平分BD；
①点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND的形状，并加以证明；
（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2，求证：NA=MC．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和旋转的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，证明△AND≌△CMD，再利用全等三角形的对应边相等证明即可．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
①以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD，
∴CD=CA，∠ACD=∠ACB=60°，
∴BO=DO，CO⊥BD，
∴AC垂直平分BD；

②△MND是等边三角形，
如图1，由①知AC垂直平分BD，

∴NB=ND，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠1=∠2，
∴∠BND=180°-2∠2，
∵ND=NM，
∴NB=NM，
∴∠3=∠4，∠BNM=180°-2∠4，
∴∠DNM=360°-180°+2∠2-180°+2∠4=2（∠2+∠4）=60°，
∴△MND是等边三角形；

（2）连接AD，BN，如图2，

由题意知，△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，AD=CD，
与（1）同理可证∠1=∠2，∠3=∠NBM，
∠BND=180°-2∠2，∠BNM=180°-2∠NBM，
∴∠MND=∠BND-∠BNM=2（∠NBM-∠2）=60°，
∵ND=NM，
∴△MND是等边三角形，
∴DN=DM，∠NDM=60°，∠ADC=∠NDM，
∴∠NDA=∠MDC，
在△AND与△MDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DN=DM}\\{∠NDA=∠NDM}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△CMD，
∴NA=MC．

点评 本题主要考查线段的旋转、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质等，解决此题的关键是能将三角形的判定和性质、等边三角形的相关性质灵活的应用．