Question

6．如图，已知线段AB=4，O为AB的中点，P是平面内的-个动点，在运动过程中保持OP=1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的取值范围是$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x²+y²=1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC=PF=y，FB=EP=2-x，从而得到点C（x+y，y+2-x），最后依据两点间的距离公式可求得AC的范围．

解答 解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB=4，O为AB的中点，
∴A（-2，0），B（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x²+y²=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋转的性质可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ECP=∠FPB}\\{∠PEC=∠PFB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，FB=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O为AB的中点，
∴AC=$\sqrt{（x+y+2）^{2}+（y+2-x）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}+2{y}^{2}+8y+8}$．
∵x²+y²=1，
∴AC=$\sqrt{10-8y}$．
∵-1≤y≤1，
∴$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．