Question

11．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且 CE=CF．连接CA、CD、CB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=CD=6，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可证得结论；
（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．

解答 （1）证明：如图，连结OC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠OCE=90°，
∴∠OCE=90°，即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB，
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴OC=AD=6，AB=12，
∵∠CAE=∠CAB，
∴CD=CB=6，
∴CB=OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
在Rt△CFB中，CF=$\sqrt{C{B}^{2}-F{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$（DC+AB）•CF=$\frac{1}{2}$×（6+12）×3$\sqrt{3}$=27$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．