已知:如图.在正方形ABCD外取一点E.连接AE.BE.DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1.PB=$\sqrt{5}$．下列结论:①△APD≌△AEB,②点B到直线AE的距离为$\sqrt{2}$,③EB⊥ED,④S正方形ABCD=4+$\sqrt{6}$,⑤S△APD+S△APB=1+$\sqrt{6}$.其中正确结论的序号是( )A．①③④B．①②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

6．

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为$\sqrt{2}$；
③EB⊥ED；
④S_{正方形ABCD}=4+$\sqrt{6}$；
⑤S_△APD+S_△APB=1+$\sqrt{6}$，
其中正确结论的序号是（　　）

A．

①③④

B．

①②⑤

C．

③④⑤

D．

①③⑤

分析由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因为AP=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，从而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，从而可求出AB²，即正方形ABCD的面积，由于S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_△AEP+S_△PEB，所以求出△AEP与△PEB的面积即可．

解答解：在正方形ABCD中，
AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠EAP=90°，
∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP，
∴∠EAB=∠DAP，
在△APD与△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠EAB=∠DAP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS），
故①正确；

∵△APD≌△AEB，
∴∠EBA=∠PDA，
∴∠BED=∠BAD=90°，
∴BE⊥ED，
故③正确，

过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵∠EAP=90°，
AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∵∠FEB+∠AEP=90°，
∠FEB+∠EBF=90°，
∴∠AEP=∠EBF=45°，
∴EF=BF，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理可求得：EP=$\sqrt{2}$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：BE=$\sqrt{3}$，
∵EF²+BF²=2BF²=BE²，
∴BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故②错误，

∵BF=EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AF=AE+EF=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴由勾股定理可知：AB²=AF²+BF²=4+$\sqrt{6}$，
故④正确，

∵△APD≌△AEB，
∴S_△APD=S_△AEB，
∴S_△APD+S_△APB
=S_△AEB+S_△APB
=S_△AEP+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故⑤错误，
故选（A）

点评本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．

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