Question

已知二次函数y=x²+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）．
（1）求此二次函数关系式；
（2）若直线l₁经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l₁∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OG∥BE．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由二次函数y=x²+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解，即可求得此二次函数关系式；
（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，需要分类讨论，避免漏解：
①若CD为平行四边形的对角线，如答图2-1所示；
②若CD为平行四边形的边，如答图2-2所示；
（3）首先过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，继而可证得OG∥BE．

解答：解：（1）二次函数y=x²+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），
∴

1+b+c=0 9+3b+c=0

，
解得：

b=-4 c=3

，
∴此二次函数关系式为：y=x²-4x+3；

（2）假设以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形．
①若CD为平行四边形的对角线，如答图2-1．
过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥OC于点N，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴点D（2，-1），点C（0，3），
∴DM=1，
∵l₁∥l，
∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠ECN+∠DFM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠ECN=∠FDM，
在△ECN和△FDM中，

∠CNE=∠DMF=90° ∠ECN=∠FDM CE=DF

，
∴△ECN≌△FDM（AAS），
∴CN=DM=1，
∴ON=OC-CN=3-1=2，
当y=2时，x²-4x+3=2，
解得：x=2±

3

；
当x=2±

3

时，可得E（2+

3

，2），F（-

3

，0）或E（2-

3

，2，），F（

3

，0），
此时四边形CFDE为平行四边形．

②若CD为平行四边形的边，如答图2-2，则EF∥CD，且EF=CD．
过点D作DM⊥y轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；
过点E作EN⊥x轴于点N．
易证△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．
∴x²-4x+3=4，
解得：x=2±

5

．
综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+

3

，2）、（2-

3

，2）、（2+

5

，4）、（2-

5

，4）．

（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，
设直线CE的解析式为：y=kx+3，
∵A（1，0），AG⊥x轴，
∴点G（1，k+3），
即OA=1，AG=k+3，
∵E是直线与抛物线的交点，
∴

y=kx+3 y=x2-4x+3

，
解得：

x=k+4 y=(k+1)(k+3)

，
∴点E（k+4，（k+1）（k+3）），
∴BH=OH-OB=k+1，EH=（k+1）（k+3），
∴

OA

BH

=

AG

EH

=

1

k+1

，
∵∠OAG=∠BHE=90°，
∴△OAG∽△BHE，
∴∠AOG=∠HBE，
∴OG∥BE．

点评：此题属于二次函数的综合题、综合性较强，难度较大，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点问题、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．