Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0），方程f（x）=x的根为x₁、x₂，且x₂-x₁＞

1

a

，当0＜t＜x₁时，试比较f（t）与x₁的大小关系．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：方程f（t）-x=0的两个根x₁，x₂，所以构造函数，当0＜t＜x₁时，利用函数的性质推出x＜f （t），然后作差x₁-f（t），化简分析出f（t）＜x₁，即可．

解答：解：令F（x）=f（t）-x．因为x₁，x₂是方程f（t）-x=0的根，所以
F（t）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当0＜t＜x₁时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＜0，得
F（t）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（t）．
x₁-f（t）
=x₁-[x+F（t）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为x₂-x₁＞

1

a

，所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（t）＞0．
由此得f（t）＜x₁．

点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．