Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB的中点，P为直线AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．求证：DE=DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：连结CD，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠A=∠B=45°，由D为AB的中点，根据等腰三角形的性质就可以得出∠BCD=45°，得出△AED≌△CFD就靠由得出结论．

解答：证明：∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠AEP=∠CEP=∠CFP=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴CF=EP．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠45°，
∴∠1=∠A，
∴AE=PE．
∴AE=CF．
∵∠C=90°，AC=BC，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB．∠DCF=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中

AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．