Question

【题目】已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC= °．

（1）如图1，若AB//ON，则①∠ABO的度数；②当∠BAD=∠ABD时， =；③当∠BAD=∠BDA时， = ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由 ．

Answer 1

【答案】
（1）20°；120°；60°
（2）存在，x＝50、20、35或125
【解析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；（2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
试题解析：如图1,①∵∠MON=36° ， OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=18 ，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=18；
②当∠BAD=∠ABD时,∠BAD=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°18°×3=126°；
当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=18°，
∴∠BAD=81°,∠AOB=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°18°18°81°=63°，
故答案为：①18°；②126，63；
2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角。
∵AB⊥OM,∠MON=36，OE平分∠MON，
∴∠AOB=18°,∠ABO=72°，
①当AC在AB左侧时：
若∠BAD=∠ABD=72°,则∠OAC=90°72°=18°；
若∠BAD=∠BDA=180°72°2=54°,则∠OAC=90°54°=36°；
若∠ADB=∠ABD=72°,则∠BAD=36°,故∠OAC=90°36°=54°；
②当AC在AB右侧时：
∵∠ABE=108°,且三角形的内角和为180°，
∴只有∠BAD=∠BDA=180°108°2=36°,则∠OAC=90°+36°=126°.
综上所述，当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角。
：本题考查三角形的内角与外教的综合应用.求角的关键是把未知角放在三角形中，利用三角形的内角和定理求角，或转化为已知角有互余或互补关系的角，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解.