Question

【题目】如图， 分别平分 的外角 、内角 、外角 .以下结论: ① ;② ;③ 平分 ;④ ; ⑤ 其中正确的结论是.

Answer 1

【答案】①②④⑤
【分析】
【解析】（1）由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确；（2）由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB；（3）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是菱形，只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC故③错误；（4）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；（5））由∠BAC+∠ABC=∠ACF，得出 ∠BAC+ ∠ABC= ∠ACF，再与∠BDC+∠DBC= ∠ACF相结合，得出 ∠BAC=∠BDC，即∠BDC= ∠BAC．
试题解析： (1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确。
2)由(1)可知AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确；
3) 如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC
故③错误；
4) 在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°∠ABD，
故④正确；
5)∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴ ∠BAC+ ∠ABC= ∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC= ∠ACF，
∴ ∠BAC+ ∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC= ∠ABC，
∴ ∠BAC=∠BDC,即∠BDC= ∠BAC.
故⑤正确。
所以答案是：①②④⑤。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的内角和外角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．