Question

13．在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，GE与BF相交于点H．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若四边形EHFG是矩形，则平行四边形ABCD应满足的条件是平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD．（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

分析 （1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，先证明四边形ADFE是正方形，得出有一个内角等于90°，从而证明菱形EHFG为一个矩形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）解：当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，平行四边形EHFG是矩形．理由如下：
连接EF，如图所示：
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E为AB中点，则AB=2AE，
于是有AE=AD=$\frac{1}{2}$AB，
这时，EF=AE=AD=DF=$\frac{1}{2}$AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四边形ADFE是正方形，
∴EG=FG=$\frac{1}{2}$AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴此时，平行四边形EHFG是矩形；
故答案为：平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意找准条件，有一定的难度．