Question

15．如图，直线y=x-1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点A的横坐标为-1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，若CF=3BC，求点P的坐标和△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A的横坐标代入一次函数解析式，求出点A的坐标．由于点A在反比例函数图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
（2）由于点A、B是一次函数与反比例函数的交点，可求出交点B的坐标．过B做BD⊥x轴垂足为D．易得△BCD∽△FCE，由CF=3BC，易求出点F的纵坐标及F点的坐标．因为点F与点P横坐标相同，可求出P点的坐标．求出CE、EF后再计算出△CEF的面积．

解答 解：（1）将点A的横坐标x=-1代入y=x-1，可得y=-1-1=-2．
∴A（-1，-2）．
将点A（-1．-2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，得k=-1×（-2）=2．
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{2}{x}$．
（2）过B作BD⊥x轴于点D，则BD∥EF，
∴△EFC∽△DBC，
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{EC}{CD}=\frac{CF}{BC}$=3，
由$\frac{2}{x}$=x-1得：x₁=-1，x₂=2，
∵B在第一象限，
∴点B的横坐标为2，
把x=2代入y=x-1中得：y=1，
∴B（2，1），
∴BD=1，
∴EF=3BD=3，
∴点F的纵坐标为-3，
把y=-3代入y=x-1中得：x=-2，
∴F（-2，-3），
将x=-2代入y=$\frac{2}{x}$中得：y=-1，
∴P（-2，-1），
y=0时，x-1=0，x=1，
∴OC=1，
∵EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$CE×EF=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、利用待定系数法求函数的解析式、与坐标轴的交点、三角形相似的性质和判定，属于基础题，熟练掌握图形与坐标特点是关键．