题目内容
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2-4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P（1）直接写出点P的坐标；
（2）若a=-1，如图1，点M的坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2，求抛物线c2的解析式；
（3）直线y=2x+b与抛物线c1相交于A、B两点，如图2，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两代女．当PD=PC时，求a的值．
分析 （1）点P为定点，则定点P的坐标与a无关；
（2）设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．根据中点坐标的性质得到：xN=2xQ-2，yN=2yQ．所以把点N的坐标代入抛物线c1的解析式得到yN=-xN2+8．以点N的坐标表示点Q，则将其代入抛物线c1的解析式得到：抛物线c2的解析式为y=-2x2+4x+2；
（3）设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12-4a+4）、B（x2，ax22-4a+4）．如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．通过相似三角形Rt△PGB∽Rt△AHP的对应边成比例得到 $\frac{BG}{PG}$=$\frac{PH}{AH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{a{{x}_{2}}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（a{{x}_{1}}^{2}-4a）}$，则a（x1+x2）=-4a=2；
解答 
解：（1）∵y=ax2-4a+4=a（x2-4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P，
∴x2-4=0，
解得 x=2或x=-2（舍去），
则y=4，
∴点P的坐标是（2，4）；
（2）设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．
∵M（2，0）．
由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN=2xQ-2，yN=2yQ．
∵a=-1，
∴抛物线c1的解析式为y=-x2+8．
∵点N在抛物线c1上，
∴yN=-xN2+8．
∴2yQ=-（2xQ-2）2+8，即yQ=-2xQ2+4xQ+2，
∴抛物线c2的解析式为：y=-2x2+4x+2．
（3）设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12-4a+4）、B（x2，ax22-4a+4）．
又∵点A、B在直线y=2x+b上，
∴a（x1+x2）=2．
如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵AH∥x轴，
∴∠PAH=∠PDC．
同理，∠BPG=∠PCD，
∴∠AHP=∠PGB，
∴Rt△PGB∽Rt△AHP，
∴$\frac{BG}{PG}$=$\frac{PH}{AH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{a{{x}_{2}}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（a{{x}_{1}}^{2}-4a）}$，
∴x1+x2=-4，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判断与性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解答（2）题的技巧性在于用点Q的坐标表示点N的坐标，然后把点N的坐标代入其所在抛物线的解析式，通过化简可以求得抛物线c2的解析式．
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如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.4米．
| A． | 2 | B． | 2.5 | C． | 3 | D． | 5 |
| A． | 为了解苏州市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 | |
| B． | 某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖 | |
| C． | 一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3 | |
| D． | 若甲组数据的方差s甲2=0.1，乙组数据的方差s乙2=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 |
| A． | 10 | B． | 2 | C． | $\sqrt{10}$ | D． | $\sqrt{2}$ |