Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D．求证：
（1）AC是⊙O的切线；
（2）AB+BE=AC．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）根据HL先证明Rt△BDE≌Rt△DCF，再根据全等三角形对应边相等及切线的性质得出AB=AF，即可得出AB+BE=AC．

解答 解：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD=DF
∴AC与⊙D相切；

（2）在△BDE和△DCF中，
∵BD=DF，DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DF}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．

点评 本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等．