Question

4．某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m（根）与时间t（天）的关系如表．

时间t（天）	1	3	8	10	26	…
日销售量m（件）	51	49	44	42	26	…

前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₂=-$\frac{1}{2}$t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）倾计算40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜3）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）从表格可看出每天比前一天少销售1件，所以判断为一次函数关系式，待定系数法求解可得解析式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得出结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．

解答 解：（1）由表格中数据可知，当时间t每增加1天，日销售量相应减少1件，
∴m与t满足一次函数关系，
设m=kt+b，将（1，51）、（3，49）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=51}\\{3k+b=49}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=52}\end{array}\right.$，
∴m与t的函数关系为：m=-t+52；

（2）设日销售利润为P，
当1≤t≤20时，
P=（-t+52）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=-$\frac{1}{4}$（t-16）²+324，
∴当t=16时，P有最大值，最大值为324元；
当21≤t≤40时，
P=（-t+52）（-$\frac{1}{2}$t+40-20）=$\frac{1}{2}$（t-46）²-18，
∵当t＜46时，P随t的增大而减小，
∴当t=21时，P取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}$（21-46）²-18=294.4元；
∵324＞294.5，
∴第16天时，销售利润最大，最大利润为324元；

（3）设前20天扣除捐赠后的日利润为W，
则W=（-t+52）（$\frac{1}{4}$t+25-20-a）=-$\frac{1}{4}$[t-2（8+a）]²+a²-36a+324，
∴对称轴为t=16+2a，
∵1≤t≤20，
∴16+2a≥20，解得：a≥2，
即a≥2时，W随t的增大而增大，
又∵a＜3，
∴2≤a＜3．

点评 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．