Question

17．阅读下列材料
我们知道，假分数可以化为带分数．例如：$\frac{8}{3}$=$2+\frac{2}{3}$=$2\frac{2}{3}$．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：$\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{x^2}{x-1}$这样的分式就是假分式；$\frac{3}{x+1}$，$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：$\frac{x-1}{x+1}=\frac{（x+1）-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$；
$\frac{x^2}{x-1}=\frac{{{x^2}-1+1}}{x-1}=\frac{（x+1）（x-1）+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$．
（1）分式$\frac{2}{x}$是真分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将分式$\frac{x-1}{x+2}$化为带分式；
（3）若分式$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，求x的整数值．

Answer 1

分析 （1）根据真分式的定义求解；
（2）利用题中的方法把分子变形为2（x+2）-3，然后写成带分式即可；
（3）先把分式化为带分式，然后利用有理数的整除性求解．

解答 解：（1）分式$\frac{2}{x}$是 真分式；
故答案为真；
（2）$\frac{x-1}{x+2}=\frac{（x+2）-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$； 
（3）$\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2（x+1）-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$；
当$\frac{2x-1}{x+1}$为整数时，$\frac{3}{x+1}$也为整数
所以x+1可取得的整数值为±1、±3．
所以x的可能整数值为0，-2，2，-4．

点评 本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．