Question

15．已知，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，DE⊥BC，垂足是点E，且BE=AC，若BD=$\frac{1}{2}$，DE+BC=1．求证：∠ABC=30°．

Answer 1

分析 设AC=BE=a，DE=x，则BC=1-y，由DE∥AC，推出$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，推出$\frac{x}{a}$=$\frac{a}{1-x}$，推出x-x²=a²，即x=x²+a²=$\frac{1}{4}$，推出BD=2DE，由此即可证明．

解答 证明：设AC=BE=a，DE=x，则BC=1-y，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{x}{a}$=$\frac{a}{1-x}$，
∴x-x²=a²，
∴x=x²+a²，
∵DE²+BE²=BD²，
∴x=BD²=$\frac{1}{4}$，
∴BD=2DE，
∵∠DEB=90°，
∴∠ABC=30°．

点评 本题考查平行线分线段成比例定理，直角三角形中30度角的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．