Question

11．已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是60°；
（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC=n°），且0＜n＜180．
①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n=60、90、150．
②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．

Answer 1

分析 （1）根据∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°，而∠AOD=∠COD=30°，代入即可求出结论；
（2）①在旋转的过程中，能够发现∠COD的一边与∠AOB的一边垂直共有三种情况，分别求出每种情况下旋转的度数即可；
②根据角与角之间的关系，将直接求∠MON得度数转换成求∠AOM，∠DON的度数，再依照角的关系即可求得结论．

解答 解：（1）∠BOD=∠AOB-∠AOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°．
故答案为：60°．
（2）①∵0＜n＜180，
∴分三种情况．
a：点D在射线0B上，∠AOC=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°；
b：点C在射线OB上，∠AOC=∠AOB=90°；
c：点D在AO的延长线上，∠AOC=180°-∠COD=180°-30°=150°．
综上得n为60、90、150．
故答案为：60、90、150．
②∵∠AOC=n°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$n°，
∠AOD=∠AOC+∠COD=n°+30°，
∠BOD=∠AOD-∠AOB=n°+30°-90°=n°-60°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×（n°-60°）=$\frac{1}{2}$n°-30°，
∠MON=∠AOD-∠AOM-∠DON=n°+30°-$\frac{1}{2}$n°-（$\frac{1}{2}$n°-30°）=60°

点评 本题考查了角的计算，解题的关键是依照题意找到角与角的关系，列对关系式．