Question

1．在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）．
（1）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两点，求证：CM=CN；
（2）已知点D（4，6），求点D关于直线AB对称的点的坐标；
（3）若E是线段OB上一点，∠AEO=67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求$\frac{GE}{AE-OF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先连接OC，通过判定△OCM≌△BCN（ASA），即可得出CM=CN；
（2）过D作DD′⊥AB于H，交y轴于D′，根据AB为DD′的垂直平分线，即可得到D′为D点关于AB的对称点，再根据D（4，6），得到AD′=AD=4，进而得到OD′=6-4=2，最后得出D′（0，2）；
（3）过B作BM⊥OF于M，则∠M=90°，通过判定△AOG≌△OBM（AAS），得到AG=OM，OG=BM，再判定△OGE≌△BFM（ASA），得到GE=FM，根据AE=AG+GE，OF=OM-FM，即可得到AE-OF=（AG+GE）-（OM-FM）=GE+FM=2GE，最后求得$\frac{GE}{AE-OF}$的值．

解答 解：（1）连接OC，
∵OA=OB=6，C为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC=AC=BC，
∴∠MOC=45°=∠NBC，
∵∠MCO+∠OCN=∠OCN+∠NCB=90°，
∴∠MCO=∠NCB，
在△OCM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MOC=∠NBC}\\{OC=BC}\\{∠MCO=∠NCB}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△BCN（ASA），
∴CM=CN；

（2）过D作DD′⊥AB于H，交y轴于D′，
∵∠OAB=45°，
∴∠BAD=45°，
∵∠AHD=90°，
∴∠ADD′=45°，
∴AB为DD′的垂直平分线，
∴D′为D点关于AB的对称点，
∵D（4，6），
∴AD′=AD=4，
∴OD′=6-4=2，
∴D′（0，2）；

（3）过B作BM⊥OF于M，则∠M=90°，
∵AE⊥OF，∠AOE=90°，
∴∠AGO=∠M=90°，∠OAG=∠BOM，
在△AOG和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAG=∠BOM}\\{AO=OB}\\{∠AGO=∠M}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△OBM（AAS），
∴AG=OM，OG=BM，
∵∠AEO=67.5°，OF⊥AE，∠AOE=90°，
∴∠EOG=22.5°=∠OAG，
又∵∠OAB=45°，
∴∠BAE=22.5°，
∵AE∥BM，
∴∠MBF=∠BAE=22.5°，
∴∠FBM=∠EOG，
在△OGE和△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGE=∠M}\\{OG=BM}\\{∠FBM=∠EOG}\end{array}\right.$，
∴△OGE≌△BFM（ASA），
∴GE=FM，
∵AE=AG+GE，OF=OM-FM，
∴AE-OF=（AG+GE）-（OM-FM）=GE+FM=2GE，
∴$\frac{GE}{AE-OF}$=$\frac{GE}{2GE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．